台形の面積の公式は必要か［デジタル／シゴト／技術］

▲ゴト技top｜第9章 1｜ 2｜ 3｜ 4｜ 5｜ 6｜ 7｜ 8｜ 9｜ 10｜ 11｜ 12｜ 13｜ 14｜ 15｜ 16｜ 17｜ 18｜ 19｜ 20｜

［第9章●午前3時の小ワザ］
15… 台形の面積の公式は必要か

［2004.06.10登録］


石田豊 ishida@pot.co.jp	ゆとり教育とやらで、小学校で台形の面積を求める公式を教えなくなったということに対し、憂慮し、憤慨する声がぼくの周辺でも高かった。そういう飲み屋でくだまくおっさんの声を汲み上げたわけでもなかろうが、最近になって一部復活したというニュースはご存じの通り。教科書の「発展的内容」というページで、件の公式が教えられる、とのことだ。悲憤慷慨のおっさんたちはとりあえず祝杯をあげていることだろう。しかし、台形の面積の公式なんて、ホントに小学生に教えるべきものなんだろうか。ぼくも、子供が学習しなければならない事柄は減らすべきではないと思っている。日本には「人々の賢さ」以外の資源はほとんどないからだ。日本人が「賢く」なくなれば、未来の国際社会のなかで、まっとうな席には座れなくなってしまう。われわれの「商品」はせんじつめればそれしかないのだ。営業品目のエッセンスを後継者にたたき込むのは現役の責務である。その点では、台形公式復活同盟のおっさんたちの言い分と重なりそうだ。しかし、その観点から見てこそ、おっさんたちの主張はまったく間違っていると思うのである。台形の面積は、ご存じの通り（上底＋下底）×高さ÷２で求められる。これをかつては小学校の５年生で教え込まれた。しかし、この「公式」は、小学校時代のテストで使う以外に、ほとんど使用用途がない。小学校の算数は、中学、高校の数学につながっていくのだが、中学高校で習う数学の中で台形の面積の公式を援用しなければならない場面はついぞ現れない。たとえば九九をちゃんと覚えていなければ、微分積分の計算もできない（少なくとも苦労する）。しかし、台形の面積の公式をまったく忘れ去っていたとしても、その後の数学の学習になんら影響を与えないのだ。数学の課程だけではない。実社会の中でも、台形の面積を求めなければならない場面なんて、ほぼ、ないと断言してさしつかえない。もともと、台形なんて形そのものが非常に人為的というか抽象的というか、「これが台形ですよ」とあらかじめ言ってもらわないと台形であると見なすまでに手続きがかかりすぎる。図形が与えられたとき、つまりたとえば土地を購入しようとしたとき、その面積をはかる前に上底と下底がホントに平行であるかを確かめないとならないからだ。台形の面積の公式を導き出すアプローチはふたつある。台形を複製し、ひとつを180°回転させてふたつをくっつけ、平行四辺形をつくる。できた平行四辺形は底辺が元の台形の上底＋下底になる。だからこの平行四辺形の面積（底辺×高さ）は（元の台形の上底＋下底）×高さになり、この平行四辺形は元の台形を２つ分くっつけたものだから、台形の面積はその半分、という論理がひとつ。もうひとつは、台形に対角線をひき２つの三角形に分割して考える道筋。ひとつの三角形の面積は上底×高さ÷２、もうひとつが下底×高さ÷２であるから、式を変形して（上底＋下底）×高さ÷２になるでしょ、と考えていくわけだ。a×b＋c×b＝(a＋b)×bっていう式の操作方法を忘れちまっていても、解答欄に書くのがかっこわるいだけで、答えを求める上では支障にならない（時間が余分にかかるかもしれんが）。さきほどネットで検索したところ、どうも前者のロジックを用いて説明している人が多いようなのだが、ぼくが思うに、後者の方が考え方としては圧倒的に優れている。前者の場合、複製を180°回転させたものをくっつけたとき、「ほんとに底辺が一直線になるの」というナイーブな疑問をいだく相手に、「ほら、平行線に別の線を引いたら、この角度とこの角度は等しくなるってのを習ったでしょ」などと、別の概念を想起させなければならないからだ。台形の面積の公式を覚えさせるより、この公式を導き出す論理のほうがずっと大事だ。台形はふたつの三角形に分割することで、その面積を求めることができる。そして、これは台形だけに限ったことではない。あらゆる多角形は、三角形に分割することで、面積を割り出すことが可能になる。実際の測量などの分野でも、基本的にはこれ一本で作業を行っている。底辺の長さがわかり、高さを割り出すことができれば、どんな三角形の面積も求められる。小学校の学習範囲では三角関数を学ばないため、高さは「ものさしではかる」しかないような場合も多かろうが、そんなことは問題ではない。多角形は三角形に分割できる。三角形は底辺と高さがわかったら、その面積が求められる。そのことだけをしっかり覚えればいい、と思うのだ。そうなってくると、じつは、正方形、長方形、平行四辺形の面積の公式も不必要であることがわかる。正方形、長方形、平行四辺形、台形などは、言ってみれば「非常に特殊」な図形である。四角形という一般的な図形のなかでの、きわめて特殊な形態にすぎない。しかし、三角形は違う。三角形でありさえすれば、三角形の面積の公式で面積が求められるのである。（だからといって長方形の面積の求め方まで教えなくていいとは言えない。長方形の面積は三角形の面積を導く基礎になるし、立体の体積を考えていく上でも出発点になる。）多角形の面積は三角形に分割することで求めることが可能だ。だから、小学生に教えるべきことは、台形面積の公式なんかじゃなく、多角形を三角形に分割するという考え方と技術に他ならない。だから小学校における多角形の面積の学習は「隠された三角形を見つけ出しましょう」というのが統一テーマになる。見つけ出した三角形のどの辺を「底辺」とみなすと面積が求めやすいかということを考えることも含まれる。この戦略で（小学生で既習の事実だけを使って）正方形、長方形、台形、ひし形、平行四辺形の面積を求めることができる。別にそれらの面積の公式を覚えなくてもだ。三角形の面積の公式、これ一本で、将来的にも万全である。そのうえ、多角形に隠された三角形を見つけ出すという作業は、子供にとっても刺激的で楽しいものであると思う。したがって、小学生の課程から台形の公式を省くことは、ゆとり学習という観点からも、真に実践的な学力をつけるという観点からも、ともに支持されてしかるべき方針だ、と思う。思うに、台形公式復活同盟のおっさんたちは、そういうことは何も考えていないのではないか。彼らの言い分は（失礼ながら）、自分たちが習ったことこそ重要であるという、単に後ろ向きかつ思考を欠いた姿勢の表明でしかない。それは言い過ぎでしょう、とおっしゃるかもしれない。そんなことはないのだ。それが証拠に、近くに台形公式復活期成同盟のシンパがいたら、その人に「台形の定義」を聞いてみたらよい。おそらくちゃんと答えられないに違いない。「一組の対辺が平行な四角形」という具合に正確に答えられる人は、おそらく全員が、「べつにそんな公式、教えんでもええやろ」とぼくの意見に賛成していただけるはずである。こうした「自分たちが習ったことこそ重要」という姿勢は、こと台形公式問題に限らず、いろんなところで立ち現れている。たとえば「円周率は3でいい」問題でもそうだ。これにも赤目吊って非難する人が少なくない。なんたること、なんたる退廃、なんたる荒廃と悲憤慷慨するのである。こういう人に、じゃあ、円周率っていくつ、と聞くと、堂々と3.14と答えるのである。言うまでもなくこれは誤りである。円周率は3.14と答えれば誤りで、だいたい3と答えれば正解なのだ。われわれは「3.14」と教えられたのであるが、同時に「それは約3.14だよ」ということも教えられており、気の利いた小学生は「3.1415」くらいまではちゃんと覚えていた。それは円周率「3」と教えられた小学生でも同じ事情だろう。円周率を教えるにあたって、3.14にするか3にするかより重要なのは、その数字のまえに「おおむね」という言葉をつけることだ。ホントはもっとたくさんの桁数があるんだけど、計算上は3（または3.14）でやってるんですよ、ということをちゃんと認識させることだ。それさえ認識させれば、実際の計算にあたって、3を使うか3.14を使うかは、当面、さして重要なことではない。どちらかといえば3を使うことで、暗算が可能になるというメリットがあるとも考えられる。3でいいんだ、と思い切ると、円の面積や円周が暗算で計算でき、イメージできる。計算力が落ちる、という指摘もあるが、計算力はべつに円周率を使わなくても4167÷23.2なんていうような計算問題を数多くこなすことで鍛えられる。べつにこんなところでハードルを設けなくてもいいのだ。他でも掴むことができる計算力なんてことより、子供が円のあれこれについて、直感的なイメージを喚起できる力を獲得する方が、ずっと意味のあることだと思う。ここまで書いても、まだ、「それでも3.14のほうがいいんじゃないか」「より正しいんじゃないか」と思われる方もあるかもしれない。しかし、円をめぐる計算のなかで、円周率を3.14として計算するより、3で計算した方が「正しい」場合もある。それは有効数字・有効桁数を考え合わせる場合だ。円周率をはじめて学習する小学校時分にはこの概念は教えないのだが、実際にいろんな計算をする場合は、ぜったいに忘れてはいけないオキテである。ま、よく忘れちゃうオキテでもあるんだが。たとえばこんな問題。某日現在での日本の総人口は1億2735万6841人であったとしよう。血液型がABであるのは9.4％である。ではこの日現在のAB型人口は何人か。この問題に対し、1197万1543.05人って答えた人は、シツレイながらアホである。0.05人って、いったいなんやねん。では1197万1543人なのか。これも間違い。数えてこい。この問題には1200万人と答えなければならない。なぜならば、9.4%というのが有効桁数が2桁しかないからだ。有効桁数の違う数字同士の計算結果は、有効桁数の小さい方にあわせるのがルール。パーセンテージは何かを何かで割った数を100倍して求めたものだが、それを9.4という場合、小数点以下2位を四捨五入しているわけだ。つまりホントは9.35であるかもしれず、もしくは9.44であるかもしれない（なおも言えば、小数点以下2位を切り捨てている可能性だってあるぞ）。だから、その答えは11,639,800から12.022.485までの範囲のどこかということになる。総人口の9.4%という場合、1164万人から1202万人までのどこかの数としか言いようがない。ばっちり何人ということを答えたとたん、一見厳密に見えるけど、実はマチガイということになってしまう。ここは1200万人と答えるしかないのだ。円周率も同じであって、直径3kmの円の円周という場合、3.14をかけて9.42kmといっても意味がない。もともとの直径の値の有効桁数が1桁しかないから、3桁の答えはマチガイになる。ましてや「3.141592653589793238462643383279」を掛けたら、もっと詳しい値が得られる、なんてことはまったくない。逆に、マチガイ度合いを増幅するだけだ。ここは有効桁数をあわせて、円周9kmというしかない。つまり、この場合は円周率は3でも3.14でもどちらを使ってもいいし、計算結果を丸めなければならないことがあらかじめわかっているのだから、効率から考えても、ヘタなミスを回避するためにも、3を使うほうが望ましいともいえる。お茶の水女子大附属高校の室岡先生にお聞きしたところ、英国などでは工学的な伝統がしっかりしているせいか、数学教育の中でもこうした概数の計算や有効桁数の概念がちゃんと組み入れられているが、日本の数学教育の中では等閑視されているのだそうだ。数学というものに対する見方の差であるのかもしれない。ともあれ、円周率を何桁使うかは場合により変わる。それを固定的に3.14だとするほうが、ヘンなのだ。そのうえ、円周率を3.14にするにしても3で計算するにしても、それは小学校のウチだけで、中学になれば、円周率はπということになる。たかだか数年間の「つなぎ」の知識なのだ。円周率3.14固定化推進同志会の方々もまた、そのリロン的根拠は「俺が習ったことこそ重要」説であるとしか思えない。この「自分がかつて習得した方法こそが絶対」と考える傾向は、教育カリキュラムへの批判だけではなく、いろんな場面で見受けられる。たしかに、すでに獲得した何事かに対する方法論を、常に懐疑的に振り返るのは難しい。ともあれ獲得した方法でもって、実践をしていかねばならないからだ。高速道路を運転している途中に、自分の運転技術のあれこれを、もしくはその技術の習得過程の可否を、くよくよ反芻したってはじまらない。ともかくそこでは運転をやるっきゃないのだ。しかし、だからといっていつまでも赤目吊って同じ歌を歌い続けていいわけはない。いままでのやり方を否定するような新方式を聞きつけた際には、冷静に、そして素早く、両者の優劣可否を考えてみるという姿勢こそが必要だ。そうじゃなければ、いずれにしてもじり貧になってしまう。自戒を込めて、そう思う。

この記事は面白かったですか？	お読みになっての印象を5段階評価のボタンを選び「投票」ボタンをクリックしてください。つまらなかった　　　　　　おもしろかった

投票の集計	投票［　156　］人、平均面白度［　4.2　］ ※「投票」は24時間以内に反映されます※

佐原彩さんよりご意見いただきました［2004.06.10］	大賛成です大賛成です。すべての多角形は三角形にできるんだからね。余談ですが、私は、なかなか眠れないとき、数学の定理の証明を頭のなかでやるのが趣味です。数学は、頭の運動にぴったりだなと思います。

＊匿名＊さんよりご意見いただきました［2004-12-22］	＊無題＊

設計やってる人間さんよりご意見いただきました［2005-02-05］	私もそう思ってました。設計業界に就職するまでは・・・。(^^; 三角関数なんか将来何の役にも立たないと本気で信じていました。設計業界では、台形の計算は必要不可欠です。三角関数が分からないと仕事になりません。他にも様々な事が必要な業界もあるでしょう。実社会の中でも、台形の面積を求めなければならない場面が頻繁にある人なんて、沢山居ると思いますよ。

ぬ～ま～さんよりご意見いただきました［2005-02-10］	台形７割賛成前職は塾の講師でした。算数・数学を担当しておりましたので、興味深く読ませて頂きました。当時（６・７年前）、学校教育の質の低さに憤りを感じつつ、自分なりに「技」といえば大袈裟ですがそんなものをいつも考えて教えていたことを昨日のように思い出します。そもそも「公式」というものには「ちゃんとした」定義があるものです。逆にいえば、「無くても」答えが導き出される性質のものです。ではなぜあるのか？それは、「覚えれば楽」「使えれば楽」だからです。教科書に載ってるか否かという枠を超えて考えれば、教える人の「質」に頼る所がおおきいのでは？「質」の低い教師がただ単に教科書に載っているからということで公式を教える・・・。そんな構図になっているから今回の賛成・反対の議論の対象になるのではないでしょうか？だって、小学校で習ったきり、その後役に立っていないモノって台形の公式だけじゃないですもんね。ただ、今私が教鞭をとったとしたら、やっぱり台形の公式を教えるような気がします。ハハハ。

いちエンジニアさんよりご意見いただきました［2005-02-28］	台形面積の公式がないと困ります建設業の技術部門で仕事しているものです。台形の面積公式は教えるべきです。仕事でばんばん使っています。「実社会の中でも、台形の面積を求めなければならない場面なんて、ほぼ、ないと断言してさしつかえない。」というのは、井の中の蛙です。

＊匿名＊さんよりご意見いただきました［2005-03-23］	＊無題＊

sumokingさんよりご意見いただきました［2005-04-12］	公式使いますよ　世の中広い。僕のような事務職でも，いや事務職だからこそ幅広い知識が求められます。台形の面積（に限らず）公式は使います。　「公式」という一種の約束事を共有する意味は大きいと思います。公式あっての応用的発想ではないかと。　三角形に分割することは，応用問題では不可欠です。小学校当時から分かっていたと思うけどなあ…。

breitohorn99さんよりご意見いただきました［2005-04-14］	左右対象の台形の名前は何と呼べばいいですか　私はいま松江市に住んでいますので、出雲風土記に記載されている「神名樋山」四山の研究をしています。四山は宍道湖を挟んで左右対称の台形の四つの頂点に位置しています。古代人の標高の表示はすべて有効数字２桁ですが、四山の中の仏経山と大船山だけが有効数字3桁およびそれ以上で表示してあります。私はいまそのなぞを解明する論文を書いていますが、小学校以来台形の形は左右対称であろうとなかろうとみんな台形と呼んでいたような気がします。　なお、台形の面積は公式を教えるだけでなく、平行四辺形で発想するか、三角形を二つ足す方法で教えるかが重要ではないでしょうか。私は平行四辺形法で習いました。中学生のころ、複雑な図形の面積を天秤計で測定する方法にも気付きました。

通行人Aさんよりご意見いただきました［2005-05-11］	ちょっと気になった AB型の人口計算で9.4%で有効桁数は2桁とありますが、9.4%＝0.094ということで有効桁数は4桁になるのではないのですか？

Fumiさんよりご意見いただきました［2005-05-26］	楽しいですねこんな議論を読むのはほんとに楽しいですね私もひとこと言わせていただきます　ちなみに私は某化学会社の研究室を定年卒業して　いまは毎日ネットサーフィンしています数学を習う目的のひとつに　実生活上の利便があるのはあたりまえですが　それだけでしたら　寺子屋とおなじく加減乗除だけでことたりるでしょうそれよりも　抽象的（抽出的だろうか）な世界を発見する感動や　結果の美しさを鑑賞することだと思います　その過程において　論理的な思考も育成されます建設業では台形公式不可欠とのことですが　不可欠になったときに公式を学ぶなり導くなりすれば充分でしょう私がたずさわっていた仕事では　対数　三角関数　微積分　統計　確率等が不可欠でした　でも　それらに必要な公式や数値はみんな便覧に載ってますから覚える必要はありません　大切なことは　この場面ではどんな解析法を使うかということです（はやい話　計算だけでしたら　得意な同僚にやってもらってました）

？さんさんよりご意見いただきました［2005-06-12］	＊無題＊

？さんさんよりご意見いただきました［2005-06-12］	だいけい私は、台形の公式がわかりません！教えて下さい

ふたなりさんよりご意見いただきました［2005-07-10］	＊無題＊台形の公式は（上辺＋底辺）×高さじゃないの？あれ、二分の一はかけませんよね？じゃぁなくて、ベクトルを使った三角形の面積公式の証明がききたい

＊匿名＊さんよりご意見いただきました［2005-08-30］	＊無題＊

chocomamaさんよりご意見いただきました［2005-09-08］	数学は役立つ！数学は人生の中でとっても役立つと思いますよ♪ 買い物をする時、物を作る時、色々な場面でどうしたって必要です。台形の面積の出し方だって、しかり。と、思います。現に私も今、縫い物の最中で、台形の公式を検索していたところなんですもの、フフフ、忘れているじゃないかと、叱られますね♪

syou5nooyaさんよりご意見いただきました［2005-09-22］	昔の小学生今日子供の勉強を見ていて台形の公式を（上底＋下底）×高さ÷２と表現してましたが、親の私たちが習ったときは、たしか（上辺＋底辺）×高さ÷２だったと記憶していましたが表現が変わったのですね。しかし、下底はともかく、上底って表現はなんか違和感がありますね。

＊匿名＊さんよりご意見いただきました［2005-12-29］	蛇足ですがふたなりさん > 台形の公式は（上辺＋底辺）×高さじゃないの？ > あれ、二分の一はかけませんよね？たぶん平行四辺形と勘違いしましたね？（割る２をしない。）

田原登輝男さんよりご意見いただきました［2006-02-03］	正方形の面積の概念も大事と思う。面積の単位というものを理解するうえでは１ｍ四方とか1cm四方というものを基準とするので、三角形よりは正方形のほうが重要と思える。何でも三角形にまで分割する必要はないと思う。三角形に分割してホモロジーを定義するのは学生のころ学んだことはあるけど（三角形でなくとも定義できるそうな？）台形公式はなくてもたいしたことはない。と思う。三角形や平行四辺形の和で求まるから。円周率についても最初３として概算させるのはかまわない。と思う。のちに、無理数ということや近似値や有効数字という概念を身につけるのだから（つければ）。

中２さんよりご意見いただきました［2006-08-29］	台形の公式は・・・。全然習いませんでしたね。でも学校で使う場面は０。塾の先生が作った問題に１つ。だけです。定義もこれを読んではじめて知りました。ほかの平行四辺形などの定義は自分で考え、理解しました。公式だけ教えられても定義知らないと自信を持って使えないんですよね。でもそのおかげか数学は得意教科です。やはり「自分で考え理解する」というのが大事だと思います。将来使わないから覚えなくていい。的なことをいっていたら学校で習っているほとんどのことが覚えなくていいことになってしまいます。特に理科、社会は常識として覚えておくことはありますが、日常生活では普通使わないですし。台形の公式も使わない人は使わないのでいらない知識となってしまいます。でも、こういうことを習うことこそ学校だと思います。（友達関係とかは無視して）いらない知識も含めて「常識人」になれば「賢く」もなれるので。

ご意見をお聞かせください	お名前: メールアドレスメールアドレスはWeb上では公開されませんタイトル: コメント:

←デジタル／シゴト／技術topへもどる

page top ↑

▲ゴト技top｜第9章 1｜ 2｜ 3｜ 4｜ 5｜ 6｜ 7｜ 8｜ 9｜ 10｜ 11｜ 12｜ 13｜ 14｜ 15｜ 16｜ 17｜ 18｜ 19｜ 20｜


石田豊 ishida@pot.co.jp	ゆとり教育とやらで、小学校で台形の面積を求める公式を教えなくなったということに対し、憂慮し、憤慨する声がぼくの周辺でも高かった。そういう飲み屋でくだまくおっさんの声を汲み上げたわけでもなかろうが、最近になって一部復活したというニュースはご存じの通り。教科書の「発展的内容」というページで、件の公式が教えられる、とのことだ。悲憤慷慨のおっさんたちはとりあえず祝杯をあげていることだろう。しかし、台形の面積の公式なんて、ホントに小学生に教えるべきものなんだろうか。ぼくも、子供が学習しなければならない事柄は減らすべきではないと思っている。日本には「人々の賢さ」以外の資源はほとんどないからだ。日本人が「賢く」なくなれば、未来の国際社会のなかで、まっとうな席には座れなくなってしまう。われわれの「商品」はせんじつめればそれしかないのだ。営業品目のエッセンスを後継者にたたき込むのは現役の責務である。その点では、台形公式復活同盟のおっさんたちの言い分と重なりそうだ。しかし、その観点から見てこそ、おっさんたちの主張はまったく間違っていると思うのである。台形の面積は、ご存じの通り（上底＋下底）×高さ÷２で求められる。これをかつては小学校の５年生で教え込まれた。しかし、この「公式」は、小学校時代のテストで使う以外に、ほとんど使用用途がない。小学校の算数は、中学、高校の数学につながっていくのだが、中学高校で習う数学の中で台形の面積の公式を援用しなければならない場面はついぞ現れない。たとえば九九をちゃんと覚えていなければ、微分積分の計算もできない（少なくとも苦労する）。しかし、台形の面積の公式をまったく忘れ去っていたとしても、その後の数学の学習になんら影響を与えないのだ。数学の課程だけではない。実社会の中でも、台形の面積を求めなければならない場面なんて、ほぼ、ないと断言してさしつかえない。もともと、台形なんて形そのものが非常に人為的というか抽象的というか、「これが台形ですよ」とあらかじめ言ってもらわないと台形であると見なすまでに手続きがかかりすぎる。図形が与えられたとき、つまりたとえば土地を購入しようとしたとき、その面積をはかる前に上底と下底がホントに平行であるかを確かめないとならないからだ。台形の面積の公式を導き出すアプローチはふたつある。台形を複製し、ひとつを180°回転させてふたつをくっつけ、平行四辺形をつくる。できた平行四辺形は底辺が元の台形の上底＋下底になる。だからこの平行四辺形の面積（底辺×高さ）は（元の台形の上底＋下底）×高さになり、この平行四辺形は元の台形を２つ分くっつけたものだから、台形の面積はその半分、という論理がひとつ。もうひとつは、台形に対角線をひき２つの三角形に分割して考える道筋。ひとつの三角形の面積は上底×高さ÷２、もうひとつが下底×高さ÷２であるから、式を変形して（上底＋下底）×高さ÷２になるでしょ、と考えていくわけだ。a×b＋c×b＝(a＋b)×bっていう式の操作方法を忘れちまっていても、解答欄に書くのがかっこわるいだけで、答えを求める上では支障にならない（時間が余分にかかるかもしれんが）。さきほどネットで検索したところ、どうも前者のロジックを用いて説明している人が多いようなのだが、ぼくが思うに、後者の方が考え方としては圧倒的に優れている。前者の場合、複製を180°回転させたものをくっつけたとき、「ほんとに底辺が一直線になるの」というナイーブな疑問をいだく相手に、「ほら、平行線に別の線を引いたら、この角度とこの角度は等しくなるってのを習ったでしょ」などと、別の概念を想起させなければならないからだ。台形の面積の公式を覚えさせるより、この公式を導き出す論理のほうがずっと大事だ。台形はふたつの三角形に分割することで、その面積を求めることができる。そして、これは台形だけに限ったことではない。あらゆる多角形は、三角形に分割することで、面積を割り出すことが可能になる。実際の測量などの分野でも、基本的にはこれ一本で作業を行っている。底辺の長さがわかり、高さを割り出すことができれば、どんな三角形の面積も求められる。小学校の学習範囲では三角関数を学ばないため、高さは「ものさしではかる」しかないような場合も多かろうが、そんなことは問題ではない。多角形は三角形に分割できる。三角形は底辺と高さがわかったら、その面積が求められる。そのことだけをしっかり覚えればいい、と思うのだ。そうなってくると、じつは、正方形、長方形、平行四辺形の面積の公式も不必要であることがわかる。正方形、長方形、平行四辺形、台形などは、言ってみれば「非常に特殊」な図形である。四角形という一般的な図形のなかでの、きわめて特殊な形態にすぎない。しかし、三角形は違う。三角形でありさえすれば、三角形の面積の公式で面積が求められるのである。（だからといって長方形の面積の求め方まで教えなくていいとは言えない。長方形の面積は三角形の面積を導く基礎になるし、立体の体積を考えていく上でも出発点になる。）多角形の面積は三角形に分割することで求めることが可能だ。だから、小学生に教えるべきことは、台形面積の公式なんかじゃなく、多角形を三角形に分割するという考え方と技術に他ならない。だから小学校における多角形の面積の学習は「隠された三角形を見つけ出しましょう」というのが統一テーマになる。見つけ出した三角形のどの辺を「底辺」とみなすと面積が求めやすいかということを考えることも含まれる。この戦略で（小学生で既習の事実だけを使って）正方形、長方形、台形、ひし形、平行四辺形の面積を求めることができる。別にそれらの面積の公式を覚えなくてもだ。三角形の面積の公式、これ一本で、将来的にも万全である。そのうえ、多角形に隠された三角形を見つけ出すという作業は、子供にとっても刺激的で楽しいものであると思う。したがって、小学生の課程から台形の公式を省くことは、ゆとり学習という観点からも、真に実践的な学力をつけるという観点からも、ともに支持されてしかるべき方針だ、と思う。思うに、台形公式復活同盟のおっさんたちは、そういうことは何も考えていないのではないか。彼らの言い分は（失礼ながら）、自分たちが習ったことこそ重要であるという、単に後ろ向きかつ思考を欠いた姿勢の表明でしかない。それは言い過ぎでしょう、とおっしゃるかもしれない。そんなことはないのだ。それが証拠に、近くに台形公式復活期成同盟のシンパがいたら、その人に「台形の定義」を聞いてみたらよい。おそらくちゃんと答えられないに違いない。「一組の対辺が平行な四角形」という具合に正確に答えられる人は、おそらく全員が、「べつにそんな公式、教えんでもええやろ」とぼくの意見に賛成していただけるはずである。こうした「自分たちが習ったことこそ重要」という姿勢は、こと台形公式問題に限らず、いろんなところで立ち現れている。たとえば「円周率は3でいい」問題でもそうだ。これにも赤目吊って非難する人が少なくない。なんたること、なんたる退廃、なんたる荒廃と悲憤慷慨するのである。こういう人に、じゃあ、円周率っていくつ、と聞くと、堂々と3.14と答えるのである。言うまでもなくこれは誤りである。円周率は3.14と答えれば誤りで、だいたい3と答えれば正解なのだ。われわれは「3.14」と教えられたのであるが、同時に「それは約3.14だよ」ということも教えられており、気の利いた小学生は「3.1415」くらいまではちゃんと覚えていた。それは円周率「3」と教えられた小学生でも同じ事情だろう。円周率を教えるにあたって、3.14にするか3にするかより重要なのは、その数字のまえに「おおむね」という言葉をつけることだ。ホントはもっとたくさんの桁数があるんだけど、計算上は3（または3.14）でやってるんですよ、ということをちゃんと認識させることだ。それさえ認識させれば、実際の計算にあたって、3を使うか3.14を使うかは、当面、さして重要なことではない。どちらかといえば3を使うことで、暗算が可能になるというメリットがあるとも考えられる。3でいいんだ、と思い切ると、円の面積や円周が暗算で計算でき、イメージできる。計算力が落ちる、という指摘もあるが、計算力はべつに円周率を使わなくても4167÷23.2なんていうような計算問題を数多くこなすことで鍛えられる。べつにこんなところでハードルを設けなくてもいいのだ。他でも掴むことができる計算力なんてことより、子供が円のあれこれについて、直感的なイメージを喚起できる力を獲得する方が、ずっと意味のあることだと思う。ここまで書いても、まだ、「それでも3.14のほうがいいんじゃないか」「より正しいんじゃないか」と思われる方もあるかもしれない。しかし、円をめぐる計算のなかで、円周率を3.14として計算するより、3で計算した方が「正しい」場合もある。それは有効数字・有効桁数を考え合わせる場合だ。円周率をはじめて学習する小学校時分にはこの概念は教えないのだが、実際にいろんな計算をする場合は、ぜったいに忘れてはいけないオキテである。ま、よく忘れちゃうオキテでもあるんだが。たとえばこんな問題。某日現在での日本の総人口は1億2735万6841人であったとしよう。血液型がABであるのは9.4％である。ではこの日現在のAB型人口は何人か。この問題に対し、1197万1543.05人って答えた人は、シツレイながらアホである。0.05人って、いったいなんやねん。では1197万1543人なのか。これも間違い。数えてこい。この問題には1200万人と答えなければならない。なぜならば、9.4%というのが有効桁数が2桁しかないからだ。有効桁数の違う数字同士の計算結果は、有効桁数の小さい方にあわせるのがルール。パーセンテージは何かを何かで割った数を100倍して求めたものだが、それを9.4という場合、小数点以下2位を四捨五入しているわけだ。つまりホントは9.35であるかもしれず、もしくは9.44であるかもしれない（なおも言えば、小数点以下2位を切り捨てている可能性だってあるぞ）。だから、その答えは11,639,800から12.022.485までの範囲のどこかということになる。総人口の9.4%という場合、1164万人から1202万人までのどこかの数としか言いようがない。ばっちり何人ということを答えたとたん、一見厳密に見えるけど、実はマチガイということになってしまう。ここは1200万人と答えるしかないのだ。円周率も同じであって、直径3kmの円の円周という場合、3.14をかけて9.42kmといっても意味がない。もともとの直径の値の有効桁数が1桁しかないから、3桁の答えはマチガイになる。ましてや「3.141592653589793238462643383279」を掛けたら、もっと詳しい値が得られる、なんてことはまったくない。逆に、マチガイ度合いを増幅するだけだ。ここは有効桁数をあわせて、円周9kmというしかない。つまり、この場合は円周率は3でも3.14でもどちらを使ってもいいし、計算結果を丸めなければならないことがあらかじめわかっているのだから、効率から考えても、ヘタなミスを回避するためにも、3を使うほうが望ましいともいえる。お茶の水女子大附属高校の室岡先生にお聞きしたところ、英国などでは工学的な伝統がしっかりしているせいか、数学教育の中でもこうした概数の計算や有効桁数の概念がちゃんと組み入れられているが、日本の数学教育の中では等閑視されているのだそうだ。数学というものに対する見方の差であるのかもしれない。ともあれ、円周率を何桁使うかは場合により変わる。それを固定的に3.14だとするほうが、ヘンなのだ。そのうえ、円周率を3.14にするにしても3で計算するにしても、それは小学校のウチだけで、中学になれば、円周率はπということになる。たかだか数年間の「つなぎ」の知識なのだ。円周率3.14固定化推進同志会の方々もまた、そのリロン的根拠は「俺が習ったことこそ重要」説であるとしか思えない。この「自分がかつて習得した方法こそが絶対」と考える傾向は、教育カリキュラムへの批判だけではなく、いろんな場面で見受けられる。たしかに、すでに獲得した何事かに対する方法論を、常に懐疑的に振り返るのは難しい。ともあれ獲得した方法でもって、実践をしていかねばならないからだ。高速道路を運転している途中に、自分の運転技術のあれこれを、もしくはその技術の習得過程の可否を、くよくよ反芻したってはじまらない。ともかくそこでは運転をやるっきゃないのだ。しかし、だからといっていつまでも赤目吊って同じ歌を歌い続けていいわけはない。いままでのやり方を否定するような新方式を聞きつけた際には、冷静に、そして素早く、両者の優劣可否を考えてみるという姿勢こそが必要だ。そうじゃなければ、いずれにしてもじり貧になってしまう。自戒を込めて、そう思う。

この記事は面白かったですか？	お読みになっての印象を5段階評価のボタンを選び「投票」ボタンをクリックしてください。つまらなかった　　　　　　おもしろかった

投票の集計	投票［　156　］人、平均面白度［　4.2　］ ※「投票」は24時間以内に反映されます※

佐原彩さんよりご意見いただきました［2004.06.10］	大賛成です大賛成です。すべての多角形は三角形にできるんだからね。余談ですが、私は、なかなか眠れないとき、数学の定理の証明を頭のなかでやるのが趣味です。数学は、頭の運動にぴったりだなと思います。

＊匿名＊さんよりご意見いただきました［2004-12-22］	＊無題＊

設計やってる人間さんよりご意見いただきました［2005-02-05］	私もそう思ってました。設計業界に就職するまでは・・・。(^^; 三角関数なんか将来何の役にも立たないと本気で信じていました。設計業界では、台形の計算は必要不可欠です。三角関数が分からないと仕事になりません。他にも様々な事が必要な業界もあるでしょう。実社会の中でも、台形の面積を求めなければならない場面が頻繁にある人なんて、沢山居ると思いますよ。

ぬ～ま～さんよりご意見いただきました［2005-02-10］	台形７割賛成前職は塾の講師でした。算数・数学を担当しておりましたので、興味深く読ませて頂きました。当時（６・７年前）、学校教育の質の低さに憤りを感じつつ、自分なりに「技」といえば大袈裟ですがそんなものをいつも考えて教えていたことを昨日のように思い出します。そもそも「公式」というものには「ちゃんとした」定義があるものです。逆にいえば、「無くても」答えが導き出される性質のものです。ではなぜあるのか？それは、「覚えれば楽」「使えれば楽」だからです。教科書に載ってるか否かという枠を超えて考えれば、教える人の「質」に頼る所がおおきいのでは？「質」の低い教師がただ単に教科書に載っているからということで公式を教える・・・。そんな構図になっているから今回の賛成・反対の議論の対象になるのではないでしょうか？だって、小学校で習ったきり、その後役に立っていないモノって台形の公式だけじゃないですもんね。ただ、今私が教鞭をとったとしたら、やっぱり台形の公式を教えるような気がします。ハハハ。

いちエンジニアさんよりご意見いただきました［2005-02-28］	台形面積の公式がないと困ります建設業の技術部門で仕事しているものです。台形の面積公式は教えるべきです。仕事でばんばん使っています。「実社会の中でも、台形の面積を求めなければならない場面なんて、ほぼ、ないと断言してさしつかえない。」というのは、井の中の蛙です。

＊匿名＊さんよりご意見いただきました［2005-03-23］	＊無題＊

sumokingさんよりご意見いただきました［2005-04-12］	公式使いますよ　世の中広い。僕のような事務職でも，いや事務職だからこそ幅広い知識が求められます。台形の面積（に限らず）公式は使います。　「公式」という一種の約束事を共有する意味は大きいと思います。公式あっての応用的発想ではないかと。　三角形に分割することは，応用問題では不可欠です。小学校当時から分かっていたと思うけどなあ…。

breitohorn99さんよりご意見いただきました［2005-04-14］	左右対象の台形の名前は何と呼べばいいですか　私はいま松江市に住んでいますので、出雲風土記に記載されている「神名樋山」四山の研究をしています。四山は宍道湖を挟んで左右対称の台形の四つの頂点に位置しています。古代人の標高の表示はすべて有効数字２桁ですが、四山の中の仏経山と大船山だけが有効数字3桁およびそれ以上で表示してあります。私はいまそのなぞを解明する論文を書いていますが、小学校以来台形の形は左右対称であろうとなかろうとみんな台形と呼んでいたような気がします。　なお、台形の面積は公式を教えるだけでなく、平行四辺形で発想するか、三角形を二つ足す方法で教えるかが重要ではないでしょうか。私は平行四辺形法で習いました。中学生のころ、複雑な図形の面積を天秤計で測定する方法にも気付きました。

通行人Aさんよりご意見いただきました［2005-05-11］	ちょっと気になった AB型の人口計算で9.4%で有効桁数は2桁とありますが、9.4%＝0.094ということで有効桁数は4桁になるのではないのですか？

Fumiさんよりご意見いただきました［2005-05-26］	楽しいですねこんな議論を読むのはほんとに楽しいですね私もひとこと言わせていただきます　ちなみに私は某化学会社の研究室を定年卒業して　いまは毎日ネットサーフィンしています数学を習う目的のひとつに　実生活上の利便があるのはあたりまえですが　それだけでしたら　寺子屋とおなじく加減乗除だけでことたりるでしょうそれよりも　抽象的（抽出的だろうか）な世界を発見する感動や　結果の美しさを鑑賞することだと思います　その過程において　論理的な思考も育成されます建設業では台形公式不可欠とのことですが　不可欠になったときに公式を学ぶなり導くなりすれば充分でしょう私がたずさわっていた仕事では　対数　三角関数　微積分　統計　確率等が不可欠でした　でも　それらに必要な公式や数値はみんな便覧に載ってますから覚える必要はありません　大切なことは　この場面ではどんな解析法を使うかということです（はやい話　計算だけでしたら　得意な同僚にやってもらってました）

？さんさんよりご意見いただきました［2005-06-12］	＊無題＊

？さんさんよりご意見いただきました［2005-06-12］	だいけい私は、台形の公式がわかりません！教えて下さい

ふたなりさんよりご意見いただきました［2005-07-10］	＊無題＊台形の公式は（上辺＋底辺）×高さじゃないの？あれ、二分の一はかけませんよね？じゃぁなくて、ベクトルを使った三角形の面積公式の証明がききたい

＊匿名＊さんよりご意見いただきました［2005-08-30］	＊無題＊

chocomamaさんよりご意見いただきました［2005-09-08］	数学は役立つ！数学は人生の中でとっても役立つと思いますよ♪ 買い物をする時、物を作る時、色々な場面でどうしたって必要です。台形の面積の出し方だって、しかり。と、思います。現に私も今、縫い物の最中で、台形の公式を検索していたところなんですもの、フフフ、忘れているじゃないかと、叱られますね♪

syou5nooyaさんよりご意見いただきました［2005-09-22］	昔の小学生今日子供の勉強を見ていて台形の公式を（上底＋下底）×高さ÷２と表現してましたが、親の私たちが習ったときは、たしか（上辺＋底辺）×高さ÷２だったと記憶していましたが表現が変わったのですね。しかし、下底はともかく、上底って表現はなんか違和感がありますね。

＊匿名＊さんよりご意見いただきました［2005-12-29］	蛇足ですがふたなりさん > 台形の公式は（上辺＋底辺）×高さじゃないの？ > あれ、二分の一はかけませんよね？たぶん平行四辺形と勘違いしましたね？（割る２をしない。）

田原登輝男さんよりご意見いただきました［2006-02-03］	正方形の面積の概念も大事と思う。面積の単位というものを理解するうえでは１ｍ四方とか1cm四方というものを基準とするので、三角形よりは正方形のほうが重要と思える。何でも三角形にまで分割する必要はないと思う。三角形に分割してホモロジーを定義するのは学生のころ学んだことはあるけど（三角形でなくとも定義できるそうな？）台形公式はなくてもたいしたことはない。と思う。三角形や平行四辺形の和で求まるから。円周率についても最初３として概算させるのはかまわない。と思う。のちに、無理数ということや近似値や有効数字という概念を身につけるのだから（つければ）。

中２さんよりご意見いただきました［2006-08-29］	台形の公式は・・・。全然習いませんでしたね。でも学校で使う場面は０。塾の先生が作った問題に１つ。だけです。定義もこれを読んではじめて知りました。ほかの平行四辺形などの定義は自分で考え、理解しました。公式だけ教えられても定義知らないと自信を持って使えないんですよね。でもそのおかげか数学は得意教科です。やはり「自分で考え理解する」というのが大事だと思います。将来使わないから覚えなくていい。的なことをいっていたら学校で習っているほとんどのことが覚えなくていいことになってしまいます。特に理科、社会は常識として覚えておくことはありますが、日常生活では普通使わないですし。台形の公式も使わない人は使わないのでいらない知識となってしまいます。でも、こういうことを習うことこそ学校だと思います。（友達関係とかは無視して）いらない知識も含めて「常識人」になれば「賢く」もなれるので。

ご意見をお聞かせください	お名前: メールアドレスメールアドレスはWeb上では公開されませんタイトル: コメント:

この記事は 面白かったですか？

投票の集計

ご意見をお聞かせください

この記事は
面白かったですか？